Викладання математики у 8 класі за новим Державним стандартом у 2016-2017 навчальному році

Звертаємо особливу увагу на особливості викладання у 8 класі, оскільки цього року восьмикласники вперше будуть навчатися за новою (розвантаженою) програмою. За типовими навчальними планами загальноосвітніх навчальних закладів, затвердженими наказом МОН України від 29.05.2014 № 664, на вивчення математики у 8 класі відводиться 4 години на тиждень  (2 години алгебри і 2 години геометрії).

За програмою курсу алгебри у 8 класі розглядаються 3 теми: «Раціональні вирази»; «Квадратні корені», «Квадратні рівняння». В темах «Раціональні вирази» та «Квадратні корені» учні ознайомлюються з функціями

та їх властивостями. При вивченні теми «Квадратні рівняння» учні набувають умінь розв’язувати неповні квадратні рівняння та квадратні рівняння загального вигляду.

№ теми	Назва теми	Кількість годин	Кількість контрольних робіт
1.	Раціональні вирази	32	3
2.	Квадратні корені. Дійсні числа	14	1
3.	Квадратні рівняння	18	1
4.	Повторення і систематизація навчального матеріалу	6	1
	Разом:	70	6

Навчальний матеріал курсу алгебри у 8 класі групується навколо п’яти основних змістових ліній:

1. Числа. Починаючи вивчення курсу алгебри, учні уже знають раціональні числа. У 8 класі вводяться ірраціональні числа, що утворюють разом з раціональними числами множину дійсних чисел. Учні ознайомлюються з поняттям числової множини, наводять приклади числових множин, розв’язують вправи, як передбачають аналіз співвідношень між числовими множинами та їх елементами. Розширення множини раціональних чисел можна мотивувати по-різному. Найкраще об’єднати потреби алгебри і геометрії. Традиційно введення ірраціональних чисел пов’язують із задачею вимірювання відрізків.

2. Елементи комбінаторики. Поняття множини належить до елементів комбінаторики. За чинною програмою  алгебри 8 класу учні повинні знати, що таке множина і підмножина, розуміти і уміти пояснювати зміст даних термінів, наводити приклади множин та підмножин.  Ознайомлення із теорією множин необхідне для вивчення функціональної лінії (як приклад: розгляд функціональних залежностей не лише між величинами, але й об’єктами будь-якої природи, застосування у природничих науках). Введення зазначених термінів дасть можливість надалі формулювати більш коректні означення багатьох математичних понять.

3. Вирази. У 8 класі доцільно уточнити, узагальнити і розширити уявлення учнів про вирази. Почати слід з поняття раціональних виразів. Серед раціональних виразів виділяють раціональні дроби.  Треба домогтися, щоб учні розрізняли  поняття «дріб» та «дробовий вираз». Не будь-який дріб є дробовим виразом. Будь-який дробовий раціональний вираз можна звести до раціонального дробу. Учні повинні вивчити  означення степеня з цілим показником, означення арифметичного квадратного кореня, знати властивості степеня та квадратного кореня, уміти записувати число у стандартному вигляді. Звернути увагу при вивченні теми «Квадратні рівняння» на формування в учнів умінь розкладати квадратний тричлен на лінійні множники, знати означення квадратного тричлену,  коренів квадратного тричлену та формулу розкладу на лінійні множники. У 8 класі вивчаються тотожні  перетворення раціональних, зокрема дробових, та ірраціональних виразів, які пов’язані з квадратним коренем. Слід мати на увазі, що перетворення в курсі алгебри розподіляються на два класи: 1) тотожні перетворення – перетворення виразів; 2) рівносильні перетворення – перетворення формул. Основною метою перетворення раціональних виразів, до складу яких входять цілі і дробові вирази, є перетворення їх у дріб, чисельник і знаменник  якого є цілими раціональними виразами. Може трапитись так, що одержаний внаслідок перетворення дріб не тотожно рівний  даному раціональному виразу внаслідок зміни області визначення. У таких випадках у відповіді разом зі знайденим дробом треба зазначити множину, на якій розглядається цей дріб. Учні повинні уміти розв’язувати вправи, що передбачають перетворення виразів, які містять степені з цілим показником.

У курсі алгебри 8 класу учні стикаються з ірраціональними виразами (щоправда, термін не вживається) у зв’язку з вивченням арифметичного квадратного кореня. На цьому етапі навчання розглядаються такі перетворення ірраціональних виразів:перетворення кореня з добутку, дробу, степеня, множення  і ділення коренів, винесення множника з-під знака кореня, внесення множника під знак кореня, звільнення від ірраціональності в знаменнику, зведення подібних доданків, що містять корені. Перетворення виразів, що містять квадратні корені, передбачають використання означення квадратного кореня, тотожностей ,

Тому належну увагу потрібно приділити засвоєнню суттєвих ознак квадратного кореня, що входять в означення.

Для усунення формалізму в засвоєні навичок і умінь виконання тотожних перетворень різних виразів поряд з введенням основного завдання перетворення  (зведення до стандартного вигляду) домагатись усвідомлення учнями того, що у кожному конкретному випадку метою тотожного перетворення є подання виразу у вигляді, зручному для розв’язування поставленої задачі.

4.                Рівняння і нерівності. У 8 класі передбачене вивчення квадратних рівнянь, рівнянь, які зводяться до квадратних і їх застосування до розв’язування задач. Учні повинні навчитися знаходити корені квадратних рівнянь, уміти застосовувати теорему Вієта для розв’язування зведених квадратних рівнянь; знаходити корені рівнянь, що зводяться до квадратних; складати і розв’язувати квадратні рівняння  та рівняння, що зводяться до них, як математичні моделі прикладних задач. Програмою також передбачено розв’язування дробових рівнянь, які містять змінну в знаменнику дробу, а також найпростіших рівнянь, у яких використовується арифметичний квадратний корінь.

5.    Функції.  У курсі 8 класу учні ознайомлюються із елементарними функціями

та їх властивостями. Звертаємо увагу на вивчення оберненої пропорційності. Із прямою пропорційністю учні знайомі ще з 6 класу. Вивчення оберненої пропорційності у 8 класі природно пов’язати з різноманітними прикладами залежностей між змінними, які відомі учням із життєвого досвіду або із суміжних предметів, зокрема географії, фізики та ін. Для введення понять квадратного кореня та арифметичного квадратного кореня розглядають залежність, задану формулою у = x² (окремий випадок квадратичної функції)^.. Наступним кроком функціональної лінії 8 класу є вивчення функції   є взаємно-оберненими на області допустимих значень, послідовне ознайомлення з якими  забезпечує глибше розуміння їх властивостей та усвідомлення матеріалу теми, яка вивчається, також слугує доречною пропедевтикою вивчення функціональної лінії. При розгляді властивостей згаданих функцій, узагальнюючи вивчений матеріал розділу, зручно здійснити аналіз співвідношень між числовими множинами та їх елементами, що передбачено програмою. Необхідно приділити належну увагу побудові графіків функцій, які вивчаються, формувати в учнів уміння характеризувати властивості функцій, використовуючи графік.

За програмою курсу геометрії 8 класу розглядаються 4 теми: «Чотирикутники», «Подібність трикутників», «Розв”язування прямокутних трикутників», «Многокутники. Площі многокутників». Згідно нової розвантаженої програми з математики перерозподілено кількість годин на вивчення тем.

№	Назва теми	Кількість годин	Кількість контрольних робіт
1.	Чотирикутники	22	2
2.	Подібність трикутників	10	1
3.	Розв”язування прямокутних трикутників	14	1
4.	Многокутники. Площі многокутників	16	1
5.	Повторення і систематизація навчального матеріалу	8	1
	Разом:	70	6

Найбільша кількість годин  передбачена програмою на вивчення чотирикутників. У навчально-методичній літературі поняття чотирикутника трактуються по-різному. В одних підручниках вони означаються як фігури, що складаються з чотирьох відрізків, будь-які два з яких мають спільний кінець і не лежать на одній прямій. В інших курсах -  як частина площини, обмежена простою замкненою ламаною. При введенні поняття чотирикутника доцільно використати наочний посібник – модель чотирикутника, виготовленого з дроту. На цьому етапі навчання ще не передбачено вводити поняття плоского чотирикутника.  Одночасно вводяться і допоміжні поняття: вершини, сторони, діагоналі чотирикутника, кут, зовнішній кут опуклого чотирикутника. Учні знайомляться з неопуклим чотирикутником. Отже, введення поняття чотирикутника переобтяжене значною кількістю понять, які, відповідно до вимог програми, учні повинні засвоїти. Це вимагає відповідної організації начального заняття. Учні мають ознайомитись і засвоїти найважливіші властивості чотирикутників, зокрема паралелограмів, прямокутників, ромбів, квадратів і трапецій, а також  властивості чотирикутників, вписаних  у коло і описаних навколо нього. Зазначена тема створює сприятливі умови для реалізації компетентнісного підходу при вивченні математики та забезпечує розвиток логічного мислення учнів у трьох основних напрямках:

1.     Ідея дедуктивної побудови курсу геометрії яскраво ілюструється при введенні означень різних видів чотирикутників, причому, як правило, шляхом вказівки роду і видової відміни. Це створює умови для формування уміння проводити класифікацію чотирикутників і показує структурні зв’язки між поняттями.

2.     Багато властивостей чотирикутників учні мають можливість встановити самі, аналізуючи наочний матеріал і виконуючи безпосередні вимірювання. Разом з тим виникає природна потреба довести помічені властивості.

3.     Оскільки більшість теорем теми не складні для доведення і прямо спираються на вивчені ознаки рівності трикутників і паралельності прямих, то є можливість організувати самостійний пошук доведень і дальшого формування умінь проводити правильні обґрунтування, доказові міркування.

Вивчення даної теми сприяє поглибленню таких понять як «означення», «ознака» і «властивість», засвоєнню понять «пряма теорема» і «обернена теорема». Для учнів, які добре встигають з геометрії, можна розширити теоретичний матеріал, вводячи поняття «необхідна умова», «достатня умова», «необхідна і достатня умови» та пояснюючи зв'язок цих умов з прямою і оберненою теоремами. Досвід показує, що учням важче застосовувати ознаки, ніж властивості фігур. Тому доцільно сформулювати учням загальний орієнтир застосування вивченого теоретичного матеріалу до розв’язування задач:

ü якщо в умові задачі (теоремі) дано, що чотирикутник належить до певного виду (паралелограм, прямокутник, ромб, квадрат), то можна при розв’язуванні задачі або доведенні теореми використати будь-яку властивість;

ü якщо в задачі (теоремі) треба довести, що певний чотирикутник є паралелограмом (прямокутником, ромбом або квадратом), то для доведення треба використати одну з ознак певного виду чотирикутника.

У системі задач слід виділяти опорні, які не повинні залишитися поза увагою учнів.

Звернути увагу на вивчення теореми Фалеса (з доведенням), її практичне та прикладне застосування, зокрема практичне використання при доведенні властивості середньої лінії трикутника.

Учні повинні уміти зображувати геометричні фігури на площині, вказувати їх елементи.

В учнів виникають труднощі при вивченні теми «Центральні та вписані кути». Для легшого сприймання матеріалу та мотивації вивчення теми можна спочатку ознайомити учнів із описаними та вписаними  чотирикутниками, з метою потреби введення поняття «вписаний кут»  перейти до вивчення вписаних та центральних кутів, далі  - досліджувати властивості та ознаки вписаних та описаних чотирикутників. Згідно чинної програми учні повинні знати та уміти доводити властивості центральних та вписаних кутів, застосовувати їх при розв’язуванні  задач.

Розпочати вивчення теми «Подібність трикутників» можна з введення терміна «подібні фігури», оскільки з ним учні  неодноразово стикалися в життєвій практиці. Сформулювати означення подібних трикутників, ознайомити із ознаками подібності трикутників ( доведення не передбачено чинною програмою, учні повинні знати напам’ять лише формулювання ознак), вводиться поняття про коефіцієнт подібності k ( звертається увага, що при k=1 отримуємо рівність фігур), розглянути питання про застосування подібності до доведення теорем та розв’язування задач, у тому числі практичного та прикладного змісту. Тема «Подібність прямокутних трикутників» окремо не розглядається, вивчається у ході ознайомлення із ознаками подібності трикутників. Привертаємо увагу до формування в учнів поняття середнього пропорційного, яке вважають складним для усвідомленого сприймання. Перед вивченням необхідно пригадати матеріал теми «Пропорція. Основна властивість пропорції», яку учні  вивчали у 6 класі. На простих доступних прикладах варто показати як знаходити середнє пропорційне величин та показати його застосування. З метою активізації пізнавальної діяльності учнів не зайве зацікавити їх золотим перерізом. Наголошуємо, що чинною програмою передбачено доведення теореми про середні пропорційні відрізки у прямокутному трикутнику. Учні повинні формулювати і знати  теореми про медіани трикутника; про властивість бісектриси трикутника; уміти застосовувати їх до розв’язування задач. Звертаємо увагу, що теорему про медіани трикутники автори деяких  підручників розглядають у першому розділі «Чотирикутники» після вивчення властивостей середньої лінії трикутника  (як окремий параграф або ж опорну задачу). У темі «Подібність фігур»  вивчається  узагальнена теорема Фалеса (теорема про пропорційні відрізки), яка має значне прикладне застосування.

Також у 8 класі учні набувають умінь розв’язувати прямокутні трикутники. Для цього вводиться поняття косинуса, синуса, тангенса гострого кута прямокутного трикутника, теорема Піфагора. Звертаємо увагу, що автори  підручників для 8 класу пропонують вивчення теореми Піфагора у різних розділах програми. Згідно чинної програми її вивчення передбачено у темі «Розв”язування прямокутних трикутників». Також її можна вивчати у темі «Подібність трикутників» або у темі «Многокутники. Площі многокутників». У такому випадку для вивчення цієї теми може бути використаний час із годин, відведених на повторення і систематизацію. Учні ознайомлюються із поняттями перпендикуляр і похила та їх властивостями, які безпосередньо випливають з теореми Піфагора. Перед вивченням даних понять варто пригадати метричні співвідношення у прямокутному трикутнику, які розглядали у темі «Подібність фігур», учні ознайомлені із поняттям проекції катета на гіпотенузу та підготовлені до окремих самостійних міркувань та узагальнення висновків.

Привертаємо увагу до вивчення однієї з найважливіших теорем геометрії – теореми Піфагора (з обов’язковим доведенням). З метою уникнення помилок, які часто допускають учні  під час виконання пояснень при розв’язуванні задач, наголосити на необхідність правильно вказувати назву теореми, яка використовується:  чи це теорема Піфагора або ж теорема,обернена до теореми Піфагора, або наслідок теореми Піфагора.

Наголошуємо на необхідності розгляду різних видів прикладних задач, розв”язок яких ґрунтується на умінні знаходити невідомі сторони та кути прямокутних трикутників.

Значну увагу приділено площам планіметричних фігур (прямокутника, паралелограма, трикутника, ромба, трапеції). Перед розглядом площ фігур пропонується ввести поняття многокутника та розглянути поняття  плоского многокутника (без введення терміну). Зміст теми складають відомості про опуклі та неопуклі многокутники; суму кутів опуклого многокутника. Учні повинні уміти розмежовувати поняття геометричної фігури та геометричної величини (у даному випадку – площі).  Ознайомивши учнів із властивостями площ доречно запропонувати спосіб виведення формул площі:

ü або розбити многокутник на частини, формули площ яких відомі;

ü або доповнити його до такої фігури, формули площ яких відомі.

Учні повинні уміти доводити теорему про площу: паралелограма; ромба; трикутника; трапеції. Вивчення формул площ фігур дає можливість розв’язувати низку прикладних задач.

З чотирикутниками і многокутниками доводиться мати справу не лише при вивченні питань вимірювання геометричних величин у планіметрії (зокрема площ фігур), у подальшому – геометричних перетворень, векторів, декартових координат на площині.

Засвоєння властивостей різних видів многокутників має велике значення і для реалізації зв’язків наступності, оскільки в курсі стереометрії вивчення многогранників і тіл обертання, питань вимірювання площ поверхонь і об’ємів спирається на відомості про многокутники.

Основна мета вивчення чотирикутників і многокутників у курсі планіметрії – забезпечити засвоєння учнями суттєвих ознак і властивостей  окремих видів чотирикутників, многокутників і навчити застосовувати здобуті знання до розв’язування різних видів задач, у тому числі і життєвого спрямування.

Навчальний матеріал курсу геометрії групується навколо двох основних змістових ліній «Геометричні фігури» та «Геометричні величини». Курс геометрії 8 класу збагачується низкою важливих обчислювальних тверджень (теорема Піфагора, пропорційні співвідношення для сторін подібних трикутників, формули площ многокутників), тому без перебільшення його можна назвати «геометрією обчислень».

Згідно наказу Міністерства освіти та науки від 27  05 2016 року № 585 «Про видання підручників для учнів 8 класу загальноосвітніх навчальних закладів у 2016 році»   затверджено перелік підручників для учнів 8 класу загальноосвітніх навчальних закладів, що друкуватимуться за кошти державного бюджету у 2016 році:

1.     «Алгебра» підручник для 8 класу загальноосвітніх навчальних закладів (авт. Істер О. С.).

2.     «Алгебра» підручник для 8 класу загальноосвітніх навчальних закладів (авт. Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Якір М. С.).

3.     «Алгебра» підручник для 8 класу загальноосвітніх навчальних закладів (авт. Бевз Г. П., Бевз В. Г.).

4.     «Алгебра» підручник для 8 класу загальноосвітніх навчальних закладів (авт. Прокопенко Н. С., Захарійченко Ю. О., Кінащук Н. Л.).

5.     «Алгебра» підручник для 8 класу загальноосвітніх навчальних закладів (авт. Кравчук В. Р., Підручна М. В., Янченко Г. М.).

6.     «Алгебра» підручник для 8 класу загальноосвітніх навчальних закладів (авт. Тарасенкова Н. А., Богатирьова І. М., Коломієць О. М., Сердюк З. О.).

7.     «Алгебра для загальноосвітніх навчальних закладів з поглибленим вивченням математики» підручник для 8 класу загальноосвітніх навчальних закладів (авт. Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Якір М. С.).

8.     «Геометрія» підручник для 8 класу загальноосвітніх навчальних закладів (авт. Істер О. С.).

9.     «Геометрія» підручник для 8 класу загальноосвітніх навчальних закладів (авт. Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Якір М. С.).

10.                       «Геометрія» підручник для 8 класу загальноосвітніх навчальних закладів (авт. Єршова А. П., Голобородько В. В., Крижановський О. Ф.,        Єршов С. В.).

11.                       «Геометрія» підручник для 8 класу загальноосвітніх навчальних закладів (авт. Бевз Г. П., Бевз В. Г., Владімірова Н. Г.).

12.                       «Геометрія» підручник для 8 класу загальноосвітніх навчальних закладів (авт. Бурда М. І., Тарасенкова Н. А.).

13.                       «Геометрія для загальноосвітніх навчальних закладів з поглибленим вивченням математики» підручник для 8 класу загальноосвітніх навчальних закладів (авт. Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Якір М. С.).